중간고사 범위인 도형의 방정식이 출제된 2023~2025학년도 동덕여고 시험지에서, 점수를 싣는 소단원과 등급이 갈리는 문항의 자리는 3년간 거의 같았습니다. 그 기록을 시험지에 적힌 숫자 그대로 정리하고, 각 문항이 어느 학력평가 기출에서 왔는지까지 한 항목씩 맞대어 보았습니다.
3년치를 나란히 놓았을 때 매년 같은 자리에서 반복된 것들입니다. 나머지 분석은 전부 이 네 문장의 근거입니다.
2025학년도 2학기 중간고사에서 원의 방정식 단독 배점이 44.0점. 복합 문항까지 합치면 60점 이상이 원과 얽혀 있었습니다. 그중에서도 접선을 소재로 쓴 문항만 일곱 개(11·13·14·서술2·서술3·서술4·서술5)였습니다.
조건을 만족하는 원 네 개를 모두, 순서쌍 두 개를 모두, 정수 k 네 개를 모두. 답이 나열인 문항이 해마다 서답형 상단에 놓입니다. 케이스를 하나 놓치면 풀이가 맞아도 점수가 통째로 사라지는 구조입니다.
(가)(나)(다) 조건 제시형, 교점 개수 조건, 자취 조건. 최근 최상위 문항은 예외 없이 주어진 조건을 스스로 다시 읽어야 식이 나오는 형태입니다. 유형 암기로 올라온 학생이 정확히 여기서 걸립니다.
16번(4.7점)과 서술형 5번(8점), 합쳐서 12.7점이 1등급 내부 변별을 담당했습니다. 배점이 0.1점 간격 소수점이라 동점자가 거의 나오지 않는 정밀 설계입니다.
2학기 중간고사의 전 범위입니다. 동덕여고가 이 단원을 실제로 어떻게 냈는지는 세 장의 시험지에 남아 있습니다.
평면좌표·직선·도형의 이동을 합쳐도 32.7점입니다. 나머지 67.3점이 원과 복합 문항에 몰려 있습니다. 원의 방정식을 ‘마지막에 한 번 훑는 단원’으로 두면, 시험지의 3분의 2를 남의 몫으로 넘기는 셈입니다.
| 난이도 | 문항 수 | 배점 합 | 해당 문항 |
|---|---|---|---|
| 하 | 6 | 20.8 | 1, 2, 3, 4, 단답1-(1), 단답1-(2) |
| 중하 | 2 | 7.8 | 6, 단답1-(3) |
| 중 | 4 | 18.6 | 5, 7, 서술2, 서술3 |
| 중상 | 6 | 26.6 | 8, 9, 10, 11, 12, 서술4 |
| 상 | 4 | 21.5 | 13, 14, 15, 서술5 |
| 최상 | 1 | 4.7 | 16 |
1번부터 7번까지와 단답형, 36.2점은 교과서 수준으로 전원이 확보해야 하는 구간입니다. 8~12번(20.6점)에서 2·3등급이 갈리고, 13~15번(13.5점)에서 1·2등급이 갈립니다. 그 위 16번과 서술형 5번(12.7점)은 사실상 최상위 소수만 완답합니다.
x축 대칭과 평행이동으로 만든 g에 대해 “{f(x)−f(t)}{g(x)−g(t)}=0의 실근이 2개”라는 조건을 걸었습니다. 이 조건을 두 포물선의 꼭짓점 x좌표 이야기로 바꿔 읽는 순간 문제가 끝나고, 그 전까지는 아무 식도 서지 않습니다. (가)(나)(다)로 조건을 나열하는 모평식 구성이 그대로 들어왔습니다.
반지름 √2인 원을 (m, m)만큼 평행이동했을 때의 접선 조건에서 중심의 자취를 두 직선으로 뽑고, “원이 3개”라는 조건을 포물선과 두 직선의 교점 개수 3개(접함 1 + 교점 2)로 번역해야 합니다. 순서쌍 두 개를 모두 써야 8점이라 부분점수 편차가 가장 큰 문항이었습니다.
점 P(5, p)에서 원 x²+y²=25에 그은 두 접선을 다루는데, x=5 자체가 접선이라는 구조를 발견하지 못하면 접선 공식만 붙들고 미궁에 빠집니다. 발견형 문항의 전형입니다.
두 원에 모두 접하는 두 직선의 교점이 닮음의 중심이라는 도구를 알고 있으면 몇 줄, 모르면 접선 조건을 이중으로 연립해야 하는 계산 지옥이 됩니다. 도구의 유무가 그대로 시간 차로 나타납니다.
다섯 단계를 연달아 처리해야 답이 나오는 지구력형입니다. 어느 한 단계도 어렵지 않은데, 앞 단계 결과를 다음 단계에 계속 실어 나르는 과정에서 정확도가 무너집니다.
포물선을 세 방향으로 평행이동한 결과가 모두 같은 직선에 접한다는 조건에서 판별식을 세 번 연립하고, 마지막에 양 축에 접하는 원 조건까지 얹습니다. 서술형에서 조건 통합을 요구한 문항입니다.
동덕여고 도형의 방정식은 “공식을 아는가”를 묻지 않습니다.2025학년도 2학기 중간고사 13번 · 14번 · 서술형 5번
그 자리에 접선이 하나 더 숨어 있다는 걸 보는가를 묻습니다.
| 시험 | 도형의 방정식 계열 배점 | 단원 내 최대 블록 | 최상단 문항 |
|---|---|---|---|
| 2024학년도 1학기 기말 2024. 7. 3. | 65.8점 | 원의 방정식 28.5점 직선 22.4 · 평면좌표 14.9 | 서답형 5번(7점) — 한 직선에 대한 두 원의 교점 수 합이 2가 되는 정수 k 네 개를 모두 |
| 2023학년도 1학기 기말 2023. 6. 23. | 75.3점 | 내분·외분/무게중심 23.7점 평행·수직·점과 직선 거리 15.9 · 두 점 사이 거리 11.5 | 16번(4.5점) — 중점을 이은 사각형이 마름모 → 대각선 상등 → 자취(원) → 최단거리, 3단 번역 |
두 해 모두 도형의 방정식 계열이 시험지의 3분의 2 가까이, 많게는 4분의 3까지 가져갔습니다. 2024년은 원, 2023년은 내분·외분이 최대 블록이었고, 2025년에 다시 원으로 크게 기울었습니다. 세 장을 겹쳐 놓으면 원 → 직선 → 내분·외분 순으로 무게가 실린다는 게 그대로 보입니다.
세 장에 실린 69항목을, 도형의 방정식만 모아 놓은 학력평가 기출 119문항과 한 항목씩 맞대어 보았습니다. 겹치는 자리가 해마다 같았습니다.
2025학년도 2학기 중간고사 100점 가운데 62.7점이 이 119문항 안에서 나왔습니다. 그중 29.6점은 문장 구조와 문자 이름까지 그대로 두고 숫자만 갈아 끼운 수준입니다. 배점 4.0점 이상인 선택형 아홉 문항(8~16번) 중 여덟 문항이 여기에 걸리고, 서술형은 3·4·5번이 연달아 걸립니다.
| 동덕여고 문항 | 배점 | 원본 학력평가 | 바뀐 것은 이것뿐 |
|---|---|---|---|
| 2025 중간 선택 8 | 4.0 | 2021년 3월 고2 29번 | 축을 x축에서 y축으로, 9a²→16a², 넓이 8√2→6√15 |
| 2025 중간 선택 11 | 4.2 | 2020년 11월 고1 20번 | 좌우 반전(2AH=HB → 2BH=HA), 반지름 2→6. 점 이름 A·P·B·H는 그대로 |
| 2025 중간 선택 12 | 4.3 | 2023년 11월 고1 20번 | 좌표값, 그리고 M−m을 M+m으로. 도입 문장은 단어 단위로 같음 |
| 2025 중간 선택 14 | 4.5 | 2019년 3월 고2(문과) 29번 | 원의 계수, 그리고 묻는 값을 11(a+b+c)에서 |ab/c|로 |
| 2025 중간 선택 15 | 4.6 | 2020년 9월 고1 29번 | 직선 y=x를 y=2x로. 주는 값과 묻는 값을 서로 맞바꿈 |
| 2025 중간 서술형 5 | 8.0 | 2023년 9월 고1 30번 | 반지름 1→√2, 접하는 대상 두 축→직선 y=x−1, 원의 개수 5→3 |
| 2023 기말 서답형 6 | 8.0 | 2020년 3월 고2 18번 | G(8,4)→G(4,2), 거리 6√2→6 (정확히 절반). 빈칸형을 서술형으로 |
일곱 중 여섯이 2025학년도 한 장에 몰려 있고, 배점은 4.0 · 4.2 · 4.3 · 4.5 · 4.6 · 8점 — 정확히 등급이 갈리는 자리입니다. 2022 개정 교육과정이 처음 적용된 해라 앞선 기출을 근거로 삼을 수밖에 없었던 사정이 그대로 보입니다. 2026학년도에도 이 흐름이 이어질 가능성이 큽니다.
숫자만 바뀐 문항보다 더 눈에 띈 것은, 기출 하나가 여러 해에 걸쳐 반복해 등장한다는 점이었습니다. 매년 새 문항을 찾아오는 대신 한 번 쓴 문항의 조건 한 줄만 바꿔 다시 냅니다.
| 원본 학력평가 | 쓰인 시험지 | 매번 바뀐 것 |
|---|---|---|
| 2017년 9월 고1 21번 각의 이등분선 | 2023 기말 서답형 1 2024 기말 선택 14 2025 중간 선택 10 세 해 연속 | 각의 이등분선 정리를 어디에 거는지만 옮깁니다. 넓이의 비 → 길이의 비 → 좌표 위의 거리 |
| 2019년 9월 고1 27번 양 축에 동시에 접하는 원 | 2023 기말 서답형 2 2024 기말 선택 13 2025 중간 서술형 3 세 해 연속 | 「중심을 (a, ±a)로 놓고 조건 하나를 a의 방정식으로 바꾼다」는 고정. 조건만 직선에 접함 → 점을 지남 → 중심이 포물선 위 → 중심이 원 위 |
두 문항 다 세 해를 한 해도 거르지 않고 나왔습니다. 이 둘만으로 세 장의 시험지에서 여섯 항목이 나온 셈입니다. 그래서 저는 이 둘을 답을 맞히는 용도가 아니라 경로를 손에 남기는 용도로 씁니다. 조건 한 줄을 바꿔 다시 풀리는 훈련까지 붙여야 다음 변형에서 통합니다.
위의 모든 숫자는 결국 네 개의 훈련 항목으로 수렴합니다. 중간고사 강좌는 이 네 개를 회차에 나눠 박아 넣는 구조로 짰습니다.
접선의 방정식, 점과 직선 사이의 거리, 숨은 수직 접선(x=k), 두 원의 공통접선과 닮음의 중심. 유형이 아니라 도구로 정리해 두어야 13·14번 같은 문항에서 시간이 벌립니다.
케이스표를 먼저 그리고, 빠진 칸이 없는지 확인하고 나서 답을 쓰는 절차를 손에 붙입니다. 이건 실력이 아니라 순서의 문제라 훈련하면 확실히 잡힙니다.
“실근이 2개”를 꼭짓점 이야기로, “원이 3개”를 교점 개수로, “접한다”를 중심의 자취로. 조건을 그림·개수·자취로 바꿔 읽는 훈련이 최상단을 가릅니다.
서답형이 36점, 전체의 3분의 1이 넘습니다. 특히 서술형 5번(8점)은 16번과 함께 1등급을 가르는 12.7점의 절반 이상을 차지합니다. 자취를 세우고 케이스를 완결하는 과정을 문장으로 쓰는 연습이 곧 점수입니다.